Pricing des constant maturity swaps, des swaps et des caps

Pour le pricing des constant maturity swaps (CMS), swaps et caps, et en particulier pour la gestion de l'ajustement de la convexité, Finance Active utilise la méthode développée par Patrick Hagan dans l'article Convexity Conundrums: Pricing CMS Swaps, Caps and Floors.

 

Dans notre notation, aujourd'hui est toujours t = 0.

Propriété	Description
Z(t;T)	Valeur à la date t d'une obligation zéro-coupon avec maturité T.
D(T)	Facteur d'actualisation d'aujourd'hui pour la maturité T.

 

Considérons :

• Une jambe de swap CMS au taux de swap payant année N.
• j = 1, 2, …, m

Propriété	Description
, , …,	Dates de la jambe CMS spécifiées dans le contrat.
	Fraction annuelle de l'intervalle j.
	Taux de swap d'année N.

 

Pour chaque période j, la jambe CMS paie :

payé au

 

Propriété	Description
	Date de référénce, cours du pair pour un swap standard débutant au  et finishant N ans plus tard au .
, , ...,	Échéances des jambes fixes du swap.
	Fraction d'une année pour chaque période j des jambes fixes.

 

Le niveau du swap est défini ainsi :

 

Le taux de swap forward est :

 

Le niveau d'aujourd'hui est spécifiquement :

 

Et le taux de swap d'aujourd'hui est :

 

Nous débutons le pricing d'un caplet CMS. Le rendement d'un caplet CMS avec une date de fixing τ est :

payé au

 

À partir de la formule fondamentale du pricing, la valeur du caplet d'aujourd'hui est (sous le numéraire du niveau) :

 

Le ratio Z(τ;)/L(τ) est une martingale sous le numéraire du niveau, alors sa valeur moyene est la valeur d'aujourd'hui :

 

En divisant Z(τ; )⁄L(τ) par sa moyenne, nous obtenons :

 

Le premier terme est le prix de la swaption européenne avec le notionnel D()⁄. Le dernier terme est la correction de la convexité.

Deux étapes permettent d'évaluer la correction de la convexité. La première étape est la modélisation du mouvement de la courbe des taux de façon à nous permettre de ré-écrire le niveau L(τ) et l'obligation zéro-coupn Z(τ;) en termes de taux de swap . Nous obtenons :

 

Pour certaines fonctions G(), la correction de la convexité est tout simplement la valeure attendue :

 

Propriété	Description
q	Nombre de périodes dans l'année : 1, si le swap de référence est annuel. 2, si semestriel. Etc.
	Fraction d'une période entre la date de début du swap et l'échéance .

 

La fonction utilisée est appelée standard model (ou street-standard model) dans l'article de Hagan :

 

La seconde étape est la réplication du rendement en termes de swaptions payeuses. Pour toutes les fonctions lisses f() avec f(K)=0, nous avons :

 

Avec :

 

Nous obtenons :

 

Alors, nous obtenons pour la valeur du caplet CMS :

 

Avec la valeur de la swaption payeuse de strike x :

 

Avec les mêmes arguments, nous obtenons la valeur du floorlet CMS :

 

Avec de même que f(x) avec le strike K remplacé par le taux de swap :

 

Les valeurs C(x) et P(x) sont calculées avec nos surfaces de volatilité swaption internes, construites avec l'hypothèse que le taux de swap forward suit le modèle SABR.